Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} \, dx
que é imprópria porque o integrando fica singular em x=1. Para isso, vamos usar a definição por limite e em seguida encontrar a antiderivada de 1/\sqrt{1-x}.

Passo 2

Pela definição de integral imprópria, escrevemos
I = \lim_{b\to1^-} \int_{0}^{b} \frac{1}{\sqrt{1-x}} \, dx.
Se esse limite for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Calculemos uma primitiva de f(x)=1/\sqrt{1-x}. Façamos u=1-x, logo du=-dx. Assim:
\int \frac{1}{\sqrt{1-x}}\,dx = -\int u^{-\tfrac12}\,du = -2\,u^{\tfrac12}+C = -2\sqrt{1-x}+C.

Passo 4

Aplicando os limites na primitiva:
I = \lim_{b\to1^-} \Bigl[-2\sqrt{1-x}\Bigr]_{0}^{b} = \lim_{b\to1^-}\bigl(-2\sqrt{1-b}+2\sqrt{1-0}\bigr) = -2\cdot0 + 2\cdot1 = 2.
Esse valor é finito, logo a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale 2.

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