Encontre as derivadas sucessivas f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x) e f^{\prime \prime \prime}(x) das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas de \,f(x)=\frac{1}{e^{2x}}. Observamos que
\frac{1}{e^{2x}}=e^{-2x}
e vamos usar a regra da cadeia para derivar a função exponencial.

Passo 2

Para calcular \,f'(x) aplicamos a derivada de e^{u(x)}, que é u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=-2x e u'(x)=-2, logo
f'(x)=(-2)\,e^{-2x}=-2e^{-2x}.

Passo 3

Agora \,f''(x) é a derivada de -2e^{-2x}. Mantendo o fator constante -2 e derivando e^{-2x} novamente, obtemos
f''(x)=-2\cdot(-2)\,e^{-2x}=4e^{-2x}.

Passo 4

Finalmente \,f'''(x) é a derivada de 4e^{-2x}. Mantemos o 4 e derivamos e^{-2x}:
f'''(x)=4\cdot(-2)\,e^{-2x}=-8e^{-2x}.

Resposta

\,f'(x)=-2e^{-2x}, \,f''(x)=4e^{-2x}, \,f'''(x)=-8e^{-2x}.

Exercícios relacionados