Resolva a equação diferencial abaixo utilizando o método do Fator Integrante.
x \frac{d y}{d x}+y=x \cdot \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a equação
x\frac{dy}{dx}+y=x\cdot \operatorname{sen} x
e pede para resolvê‑la usando o método do fator integrante. Informações relevantes que temos:
  1. A equação envolve o termo x multiplicando \frac{dy}{dx}, logo não podemos dividir por x sem observar que x\neq0. Portanto a resolução vale para x\neq0.
  2. Queremos encontrar a solução geral y(x) (com constante de integração C).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é, isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo por x (válido porque x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\operatorname{sen} x.
Aqui podemos identificar o coeficiente que multiplica y como p(x)=\dfrac{1}{x} e o termo independente como q(x)=\operatorname{sen} x. A ideia do fator integrante é encontrar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y.

Passo 3

A fórmula do fator integrante diz que
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=\dfrac{1}{x}, então
\int p(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Como trabalhamos em intervalos onde x tem sinal fixo (lembre: x\neq0), podemos escolher \mu(x)=x se considerarmos x>0 (ou \mu(x)=-x se x<0); usar \mu(x)=x é suficiente para obter a solução geral válida para x\neq0.

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por \mu(x)=x. A equação original já é exatamente essa multiplicada por x, mas agora interpretamos o lado esquerdo como derivada de um produto:
x\frac{dy}{dx}+y=\operatorname{sen} x\cdot x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\operatorname{sen} x.
Esta identidade vale porque, por regra do produto,
\frac{d}{dx}(x y)=x\frac{dy}{dx}+1\cdot y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}(xy)\,dx=\int x\operatorname{sen} x\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente xy. Precisamos calcular \displaystyle\int x\operatorname{sen} x\,dx. Fazemos integração por partes: escolha u=x e dv=\operatorname{sen} x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Pela fórmula de partes,
\int x\operatorname{sen} x\,dx = uv-\int v\,du = -x\cos x - \int(-\cos x)\,dx.
Isso simplifica para
\int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos
xy = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por x (novamente lembrando x\neq0):
y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}.
Aqui C é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral da equação diferencial em qualquer intervalo onde x\neq0. Se for necessário estudar o comportamento em x\to0, teríamos que analisar limites e talvez escolher C adequado para obter determinada regularidade, mas isso é adicional ao pedido.

Resposta

y=-\cos x+\dfrac{\sin x}{x}+\dfrac{C}{x},\quad x\neq0

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