Resolva a equação diferencial abaixo utilizando o método do Fator Integrante.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para resolvê‑la usando o método do fator integrante. Informações relevantes que temos:
- A equação envolve o termo
multiplicando , logo não podemos dividir por sem observar que . Portanto a resolução vale para . - Queremos encontrar a solução geral
(com constante de integração ).
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é, isolamos
dividindo por
(válido porque
):
Aqui podemos identificar o coeficiente que multiplica
como
e o termo independente como
. A ideia do fator integrante é encontrar uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de
.
Passo 3
A fórmula do fator integrante diz que
Aqui
, então
Portanto
Como trabalhamos em intervalos onde
tem sinal fixo (lembre:
), podemos escolher
se considerarmos
(ou
se
); usar
é suficiente para obter a solução geral válida para
.
Passo 4
Multiplicamos a forma padrão por
. A equação original já é exatamente essa multiplicada por
, mas agora interpretamos o lado esquerdo como derivada de um produto:
Esta identidade vale porque, por regra do produto,
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Precisamos calcular
. Fazemos integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Pela fórmula de partes,
Isso simplifica para
onde
é a constante de integração. Assim obtemos
Passo 6
Isolamos
dividindo por
(novamente lembrando
):
Aqui
é a constante arbitrária de integração. Essa é a solução geral da equação diferencial em qualquer intervalo onde
. Se for necessário estudar o comportamento em
, teríamos que analisar limites e talvez escolher
adequado para obter determinada regularidade, mas isso é adicional ao pedido.