Determine a solução geral das seguintes EDOs.
x^{2}+3 x y+y^{2}-x^{2} \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^{2} + 3xy + y^{2} - x^{2}\frac{dy}{dx} = 0.
Reconhecemos que, após isolar \frac{dy}{dx}, o lado direito será uma função de \frac{y}{x}, ou seja, trata-se de uma equação homogênea de grau zero. Vamos usar a substituição
v = \frac{y}{x},
que é o método padrão para resolver EDOs homogêneas.

Passo 2

Isolamos \frac{dy}{dx}. Da equação inicial temos
x^{2}\,\frac{dy}{dx} = x^{2} + 3xy + y^{2},
logo
\frac{dy}{dx} = 1 + 3\,\frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}.
Note que o lado direito depende apenas de v = \tfrac{y}{x}, confirmando a homogeneidade.

Passo 3

Fazemos y = vx. Então
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = 1 + 3v + v^{2} obtemos
v + x\,\frac{dv}{dx} = 1 + 3v + v^{2} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dv}{dx} = 1 + 3v + v^{2} - v = (v+1)^{2}.

Passo 4

Agora separamos variáveis:
\frac{dv}{(v+1)^{2}} = \frac{dx}{x}.
Integrando cada lado:
\int \frac{dv}{(v+1)^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{v+1} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltamos a v = \tfrac{y}{x}. A relação
-\frac{1}{v+1} = \ln\lvert x\rvert + C
vira
-\frac{1}{\frac{y}{x}+1} = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x}{x+y} = \ln\lvert x\rvert + C.
Podemos escrever de modo mais simples como
\frac{x}{x+y} + \ln\lvert x\rvert = C'.

Resposta

\boxed{\frac{x}{x+y} + \ln\lvert x\rvert = C,}
onde C é a constante arbitrária da integração.

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