Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Se forem, determine a solução geral; caso contrário, encontre um fator integrante adequado e, em seguida, determine a solução geral.
}+x y \frac{d y}{d x}=0)
}+x y \frac{d y}{d x}=0)
Passo 1
O enunciado dá a EDO
que reescrevemos na forma diferencial
onde
Vamos primeiro verificar se é exata.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa apenas de
. Usamos o teste
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
. Fica
isto é
Verificamos agora
logo a EDO é exata.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
Portanto a solução geral em forma implícita é
Resposta
ou equivalente