Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Se forem, determine a solução geral; caso contrário, encontre um fator integrante adequado e, em seguida, determine a solução geral.
-\left(x^{2}+y^{2}}+x y \frac{d y}{d x}=0)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+x y\,\frac{dy}{dx}=0,
que reescrevemos na forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy =0,
onde
M(x,y) = -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), \quad N(x,y) = x\,y.
Vamos primeiro verificar se é exata.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = -2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y.
Como \partial M/\partial y = -2y \neq y = \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa apenas de x. Usamos o teste
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{-2y - y}{x\,y} = -\frac{3}{x},
que depende só de x. Logo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-3\ln|x|\bigr) = x^{-3}.

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por \mu(x)=x^{-3}. Fica
\underbrace{-x^{-3}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}_{M^*}\,dx + \underbrace{x^{-3}\,(x\,y)}_{N^*}\,dy =0,
isto é
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy =0, \quad M^* = -x^{-1} - \frac{y^{2}}{x^{3}}, \quad N^* = \frac{y}{x^{2}}.
Verificamos agora
\frac{\partial M^*}{\partial y} = -\frac{2y}{x^{3}}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} = -\frac{2y}{x^{3}},
logo a EDO é exata.

Passo 5

Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M^*, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N^*.
Integramos M^* em relação a x:
\psi(x,y) = \int\Bigl(-x^{-1} - y^{2}x^{-3}\Bigr)\,dx = -\ln|x| + \frac{y^{2}}{2x^{2}} + h(y).
Derivando em relação a y e igualando a N^*:
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{y}{x^{2}} + h'(y) \stackrel!= \frac{y}{x^{2}} \;\Longrightarrow\;h'(y)=0\;\Longrightarrow\;h(y)=\text{const}.
Portanto a solução geral em forma implícita é
\psi(x,y) = -\ln|x| + \frac{y^{2}}{2x^{2}} = C.

Resposta

-\ln|x| \;+\; \frac{y^{2}}{2x^{2}} = C,
ou equivalente
\frac{y^{2}}{x^{2}} - 2\ln|x| = C'.

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