Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Se forem, determine a solução geral; caso contrário, encontre um fator integrante adequado e, em seguida, determine a solução geral.
e^{x}+\left(e^{x} \operatorname{cotg} y+2 y \operatorname{cosec} y\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
e^{x}+\bigl(e^{x}\cot y+2y\csc y\bigr)\,\frac{dy}{dx}=0
e pede para verificarmos se ela é exata. Se não for, encontrar um fator integrante e então obter a solução geral.

Passo 2

Escrevemos em forma diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=e^x,\qquad N(x,y)=e^x\cot y+2y\csc y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=e^x\cot y.
Como 0\neq e^x\cot y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu só em função de y. Usamos
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} =\frac{e^x\cot y-0}{e^x}=\cot y,
que depende apenas de y. Logo
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int\cot y\,dy\Bigr) =\exp(\ln|\sin y|)=\sin y.

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por \sin y, obtendo
e^x\sin y\,dx+\bigl(e^x\cos y+2y\bigr)\,dy=0.
Agora
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\sin y\bigr) =e^x\cos y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x\cos y+2y\bigr) =e^x\cos y,
logo é exata.

Passo 5

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\Phi_x=e^x\sin y.
Integramos em x:
\Phi(x,y)=\int e^x\sin y\,dx=e^x\sin y+h(y).
Então
\Phi_y=e^x\cos y+h'(y)
deve igualar e^x\cos y+2y. Assim
h'(y)=2y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^2.

Passo 6

A função potencial é
\Phi(x,y)=e^x\sin y+y^2,
e a solução geral implícita é
e^x\sin y+y^2=C.

Resposta

e^x\sin y+y^2=C.

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