Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Se forem, determine a solução geral; caso contrário, encontre um fator integrante adequado e, em seguida, determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede para verificarmos se ela é exata. Se não for, encontrar um fator integrante e então obter a solução geral.
Passo 2
Escrevemos em forma diferencial
com
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
só em função de
. Usamos
que depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
, obtendo
Agora
logo é exata.
Passo 5
Procuramos
tal que
Integramos em
:
Então
deve igualar
. Assim
Passo 6
A função potencial é
e a solução geral implícita é