Determine a solução geral das seguintes EDOs.
x+2 y-4-(2 x+y-5) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x + 2y - 4 \;-\;(2x + y -5)\,\frac{dy}{dx}=0
ou seja
\frac{dy}{dx}=\frac{x+2y-4}{2x+y-5}.
O conteúdo aqui é equação de variáveis homogêneas depois de um deslocamento de origem, pois numerador e denominador são afins em x,y.

Passo 2

Para remover os termos constantes, fazemos a mudança de variáveis
X = x - h,\quad Y = y - k,
e escolhemos h,k tais que
h + 2k -4 = 0,\quad 2h + k -5 = 0.
Resolvendo o sistema obtém-se h=2, k=1. Assim
X = x-2,\quad Y = y-1.

Passo 3

Em X,Y a equação fica
\frac{dY}{dX} =\frac{(X+h)+2(Y+k)-4}{2(X+h)+(Y+k)-5} =\frac{X+2Y}{2X+Y},
que é homogênea de grau zero em X,Y.

Passo 4

Para resolver usamos a substituição Y=vX, logo
\frac{dY}{dX}=v + X\frac{dv}{dX},
e a equação torna-se
v + X\frac{dv}{dX} =\frac{X+2vX}{2X+vX} =\frac{1+2v}{2+v}.
Isolando,
X\frac{dv}{dX} =\frac{1+2v}{2+v}-v =\frac{1-v^2}{2+v}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{2+v}{1-v^2}\,dv =\frac{dX}{X}.
Fazendo frações parciais,
\frac{2+v}{1-v^2} =\frac{3/2}{1-v}+\frac{1/2}{1+v},
logo
\int\frac{2+v}{1-v^2}\,dv =-\tfrac32\ln|1-v|+\tfrac12\ln|1+v| =\ln|X|+C.
Multiplicando por 2 e exponenciando, chega-se a
\frac{1+v}{(1-v)^3}=K\,X^2.

Passo 6

Voltando a v=Y/X e X=x-2, Y=y-1, a relação implícita geral é
\frac{(X+Y)}{(X-Y)^3}=K \quad\Longrightarrow\quad X+Y=K\,(X-Y)^3.
Revertendo X=x-2, Y=y-1, obtemos a solução geral implícita
x+y-3 =K\,(x-y-1)^3,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral implícita é
x + y - 3 = C\,(x - y - 1)^3,
com C constante de integração.

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