Exercício 9 Calcule as integrais abaixo:
$ \iiint_{R} x d x d y d z$, sendo integral triplaR x d x d y d z dado por R e 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaR x,dx,dy,dz, onde a região R é dada por 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 e x+y <= z <= x+y+1. O conteúdo aqui é integração múltipla usando integrais iteradas e o teorema de Fubini.

Passo 2

Expressamos a integral como iterada segundo a ordem dz,dy,dx:
integralx=0^2integraly=0^1integralz=x+y^x+y+1x,dz,dy,dx

Passo 3

Primeiro, integramos em z. Como x é constante em relação a z, temos
integralz=x+y^x+y+1x,dz = xl[(x+y+1)-(x+y)r] = xcdot1 = x

Passo 4

Agora a integral reduz para
integral0^2integral0^1 x,dy,dx
Integramos em y:
integraly=0^1 x,dy = xcdot1 = x

Passo 5

Por fim, integramos em x:
integral0^2 x,dx = l[x^22r]0^2 = 2^22 - 0 = 2

Resposta

2

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