Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Estamos no conteúdo de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
onde
é uma constante a determinar. Isso porque exponenciais transformam derivadas em fatores constantes, facilitando a obtenção da equação característica.
Passo 3
Calculamos as derivadas e substituímos na equação:
Substituindo em
dá
Como
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 4
O discriminante é
ou seja, temos raiz dupla. A raiz única é
Passo 5
Para raiz dupla
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.