Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
4 y^prime prime-4 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4,y'' - 4,y' + y = 0
Estamos no conteúdo de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y = e^r x,
onde r é uma constante a determinar. Isso porque exponenciais transformam derivadas em fatores constantes, facilitando a obtenção da equação característica.

Passo 3

Calculamos as derivadas e substituímos na equação:
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x
Substituindo em 4,y'' - 4,y' + y = 0
4l(r^2 e^r xr) - 4l(r e^r xr) + e^r x = 0
Como e^r xneq0, podemos dividir por e^r x e obter a equação característica

Passo 4

4r^2 - 4r + 1 = 0
O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot4cdot1 = 16 - 16 = 0,
ou seja, temos raiz dupla. A raiz única é
r = 42cdot4 = 12

Passo 5

Para raiz dupla r=tfrac12 a solução geral da homogênea é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^x2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^x2

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