Determine a solução geral dos seguintes sistemas de equações.
X^prime=(cc-6 & -6 6 & 9) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
X' = A,X
com
A = -6 & -6 [6pt] 6 & 9
O método consiste em encontrar autovalores e autovetores de A e combinar as soluções elementares.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
detl(A - lambda Ir) = det-6-lambda & -6 [3pt] 6 & 9-lambda = (-6-lambda)(9-lambda) - (-6)cdot 6
Desenvolvendo,
(-6-lambda)(9-lambda) + 36 = lambda^2 -3lambda -18
Logo, a equação característica é
lambda^2 - 3lambda - 18 = 0 ]

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 - 3lambda - 18 = 0
temos De<a = 9 + 72 = 81, raizDe<a=9, de onde
lambda1 = 3 + 92 = 6, lambda2 = 3 - 92 = -3

Passo 4

Para lambda1 = 6, resolvemos (A - 6I)v = 0, isto é,
-12 & -6 [3pt] 6 & 3 x y = 0 0
A primeira equação -12x - 6y = 0 y = -2x. Um autovetor associado é
v1 = 1 -2 ]

Passo 5

Para lambda2 = -3, resolvemos (A + 3I)v = 0, isto é,
-3 & -6 [3pt] 6 & 12 x y = 0 0
A primeira equação -3x - 6y = 0 x = -2y. Um autovetor associado é
v2 = -2 1 ]

Passo 6

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções elementares
X(t) = C1 e^lambda1 t,v1 + C2 e^lambda2 t,v2 = C1 e^6t1 -2 + C2 e^-3t-2 1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) = C1 e^6t1 -2 ;+; C2 e^-3t-2 1

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