Esboce a região e inverta a ordem de integração
integral1^e integral0^ln (x) f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região de integração
D = l(x,y)mid 1 <= x <= e,;0 <= y <= ln(x)r
e depois inverter a ordem de integração da integral dupla
integral1^e!integral0^ln(x) f(x,y),dy,dx
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas, para isso precisamos identificar os limites de x e y na região D.

Passo 2

Esboçando D no plano xy:
  • A curva superior é y=ln(x), que passa por (1,0) e (e,1).
  • A parte inferior é o eixo y=0.
  • As fronteiras verticais são x=1 e x=e.
    Logo D é a região limitada abaixo por y=0, acima por y=ln(x), à esquerda por x=1 e à direita por x=e.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y:
  • O menor valor de y é 0 (na reta y=0).
  • O maior valor de y é ln(e)=1.
    Para um y fixo em [0,1], a condição y<= ln(x) equivale a x >= e^y. Como x também satisfaz x<= e, temos
e^y <= x <= e

Passo 4

Substituindo esses limites na integral, obtemos a ordem invertida:
integral1^e!integral0^ln(x) f(x,y),dy,dx =integral0^1!integrale^y^e f(x,y),dx,dy

Resposta

integral1^e!integral0^ln(x) f(x,y),dy,dx =integral0^1!integrale^y^e f(x,y),dx,dy

Exercícios relacionados