Esboce a região e inverta a ordem de integração
integral0^2 integral1^e^y f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
R = (x,y)mid 0 <= y <= 2,;1 <= x <= e^y
e, em seguida, inverter a ordem de integração da integral
integral0^2!integral1^e^y f(x,y),dx,dy
Para isso, vamos identificar as curvas que limitam R e trocar o papel de x e y.

Passo 2

Descrevendo e esboçando R:
– As retas horizontais y=0 e y=2 são limites superior e inferior em y.
– A reta vertical x=1 é o limite esquerdo em x.
– A curva x=e^y é o limite direito em x, que parte de (1,0) e sobe até (e^2,2).
No plano xy, R fica entre essas quatro fronteiras.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, escrevemos x=e^y como
y = ln x
O menor valor de x em R é x=1 (quando y=0) e o maior é x=e^2 (quando y=2).
Para um x fixo em [1,e^2], y varia do ponto na curva y=ln x até a reta y=2.

Passo 4

Assim, trocando as integrais, obtemos
integral0^2!integral1^e^y f(x,y),dx,dy = integral1^e^2!integralln x^2 f(x,y),dy,dx

Resposta

integral1^e^2integralln x^2 f(x,y),dy,dx

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