Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
y^{3} y^{\prime}+4 x y^{4}=8 x

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^{3}\,y' + 4x\,y^{4} = 8x
e pede a solução geral. Isso é uma equação de Bernoulli do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
que vamos resolver dividindo por y^3 e fazendo a substituição u=y^{1-n}.

Passo 2

Dividindo toda a equação por y^3 (assumindo y\neq0) obtemos
y' + 4x\,y = 8x\,y^{-3}.
Aqui identificamos
P(x)=4x,\quad Q(x)=8x,\quad n=-3.

Passo 3

Na fórmula de Bernoulli, fazemos a troca
u = y^{\,1-n} = y^{\,1-(-3)} = y^4.
Calculamos
u' = \frac{d}{dx}\bigl(y^4\bigr) = 4\,y^3\,y',
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y^3\,y' = \frac{u'}{4}.
Substituindo em y^3\,y' +4x\,y^4=8x
\frac{u'}{4} + 4x\,u = 8x \quad\Longrightarrow\quad u' + 16x\,u = 32x.

Passo 4

A equação em u é linear de 1.ª ordem:
u' + 16x\,u = 32x.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\!\int 16x\,dx\Bigr) = \exp(8x^2).
Multiplicando tudo por \mu(x):
\bigl(u\,e^{8x^2}\bigr)' = 32x\,e^{8x^2}.
Integrando em x:
u\,e^{8x^2} = \int 32x\,e^{8x^2}\,dx = 2\,e^{8x^2} + C,
onde C é constante de integração. Assim
u = 2 + C\,e^{-8x^2}.

Passo 5

Voltando à variável y, lembrando que u=y^4, temos
y^4 = 2 + C\,e^{-8x^2} \quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(2 + C\,e^{-8x^2}\bigr)^{\!1/4}.

Resposta

\boxed{y(x) = \bigl(2 + C\,e^{-8x^2}\bigr)^{1/4},}
onde C é constante arbitrária.

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