Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
y^{\prime}-y+y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de Bernoulli
y' - y + y^{2} = 0,
que podemos tratar como uma equação da forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.

Passo 2

Comparando
y' - y + y^{2}=0
com
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
vemos que
P(x) = -1,\quad Q(x) = -1,\quad n = 2.

Passo 3

Na técnica de Bernoulli, fazemos a substituição
z = y^{\,1-n} = y^{-1}.
Derivando em relação a x,
z' = -y^{-2}\,y'.

Passo 4

Como y' = y - y^{2}, substituímos em z':
z' = -\frac{y - y^{2}}{y^{2}} = -\Bigl(\frac{1}{y} - 1\Bigr) = 1 - z.
Logo obtemos a EDO linear
z' - z = -1.

Passo 5

Resolvendo z' - z = -1: o fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.
Multiplicando,
(z\,e^{-x})' = -e^{-x},
e integrando,
z\,e^{-x} = \int -e^{-x}\,dx = e^{-x} + C.
Multiplicando por e^{x}, segue
z = 1 + C\,e^{x}.

Passo 6

Voltando a y pela relação y = 1/z, obtemos
y(x) = \frac{1}{1 + C\,e^{x}}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{1 + C\,e^{x}},
onde C é uma constante arbitrária.

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