Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
y^{\prime}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
y' = \frac{y}{\sqrt{x^2+1}}.
Aqui o conteúdo é separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados para encontrar y(x).

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}.

Passo 3

Integramos cada lado:
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}.
A integral do lado esquerdo é \ln|y| e a do direito é \operatorname{arcsinh}(x), logo
\ln|y| = \operatorname{arcsinh}(x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Elevando exponencialmente ambos os lados, obtemos
|y| = e^{\operatorname{arcsinh}(x) + C} = e^C\,e^{\operatorname{arcsinh}(x)}.
Definindo C_1 = \pm e^C, a solução geral fica
y(x) = C_1\,e^{\operatorname{arcsinh}(x)},
incluindo y=0 como caso C_1=0.

Resposta

y(x) = C\,e^{\operatorname{arcsinh}(x)},\quad C\in\mathbb{R}.

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