Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
2 x y^{2}-x^{2} y+(2 y-x) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2\,x\,y^{2} - x^{2}\,y + \bigl(2\,y - x\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0.
Aqui y'=dy/dx. O método para resolver é separar variáveis: queremos escrever a equação na forma
g(y)\,\frac{dy}{dx}=f(x)
e então integrar cada lado.

Passo 2

Isolando \frac{dy}{dx}, movemos o termo sem derivada para o outro lado:
\bigl(2\,y - x\bigr)\,\frac{dy}{dx} = x^{2}\,y - 2\,x\,y^{2} = x\,y\,(x - 2\,y).
Então
\frac{dy}{dx} = \frac{x\,y\,(x - 2\,y)}{2\,y - x}.
Note que
\frac{x - 2\,y}{2\,y - x} = -1,
pois x - 2y = -(2y - x). Logo
\frac{dy}{dx} = -\,x\,y.

Passo 3

Agora a equação está separada:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = -\,x.
Multiplicando ambos os lados por dx e por 1/y, obtemos
\frac{1}{y}\,dy = -\,x\,dx.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\,x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert y\rvert = -\frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Exponenciando, chegamos à solução geral no formato explícito:
y = K\,e^{-x^{2}/2},
com K = e^{C} constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y = K\,e^{-x^{2}/2},\quad K\in\mathbb{R}.}
Há ainda a solução singular dada por 2y - x=0, isto é
\boxed{y = \frac{x}{2}}.

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