Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
(1+x) y^{\prime}-x y=x+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
(1+x)\,y' - x\,y = x + x^2.
O conteúdo é resolução de EDO linear usando fator integrante. Para resolver, precisamos:
  1. Colocar na forma padrão y' + P(x)\,y = Q(x).
  2. Calcular o fator integrante \mu(x)=\exp\bigl(\int P(x)\,dx\bigr).
  3. Multiplicar a EDO por \mu(x), reconhecer o lado esquerdo como \tfrac{d}{dx}[\mu(x)\,y] e integrar.
  4. Isolar y e incluir a constante de integração.

Passo 2

Dividindo por 1+x (supondo x\neq -1) obtemos
y' - \frac{x}{1+x}\,y = \frac{x + x^2}{1+x} = x.
Logo P(x) = -\dfrac{x}{1+x} e Q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(-\int \frac{x}{1+x}\,dx\Bigr).
Observe que \dfrac{x}{1+x} = 1 - \dfrac{1}{1+x}, então
-\int \frac{x}{1+x}\,dx = -\int 1\,dx + \int \frac{1}{1+x}\,dx = -x + \ln|1+x|.
Portanto
\mu(x) = e^{-x + \ln(1+x)} = e^{-x}\,(1+x).

Passo 4

Multiplicamos a EDO padrão por \mu(x):
e^{-x}(1+x)\,y' - e^{-x}x\,y = x\,e^{-x}(1+x).
O lado esquerdo é \tfrac{d}{dx}\bigl[e^{-x}(1+x)\,y\bigr]. Logo
\frac{d}{dx}\bigl[e^{-x}(1+x)\,y\bigr] = x\,(1+x)\,e^{-x}.
Integramos em relação a x:
e^{-x}(1+x)\,y = \int x(1+x)e^{-x}\,dx + C.

Passo 5

Calculamos a integral
\int (x+x^2)e^{-x}\,dx.
Usando integração por partes ou tabelas, chega-se a
\int (x+x^2)e^{-x}\,dx = -e^{-x}\bigl(x^2+3x+3\bigr) + C_1.
Logo
e^{-x}(1+x)\,y = -e^{-x}(x^2+3x+3) + C,
sendo C a constante geral de integração.

Passo 6

Isolando y:
y = \frac{-e^{-x}(x^2+3x+3) + C}{e^{-x}(1+x)} = -\frac{x^2+3x+3}{1+x} + C\,\frac{e^{x}}{1+x}.
Fazendo divisão polinomial em \dfrac{x^2+3x+3}{1+x} obtém-se (x+2) + \dfrac{1}{1+x}. Então
-\frac{x^2+3x+3}{1+x} = -(x+2) - \frac{1}{1+x}.
Portanto a solução geral é
y = -\bigl(x+2\bigr) - \frac{1}{1+x} + C\,\frac{e^{x}}{1+x},
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = -\,\bigl(x+2\bigr)\;-\;\frac{1}{1+x}\;+\;C\,\frac{e^{x}}{1+x}.

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