Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
\cos (y) \operatorname{sen}(x) y^{\prime}=\operatorname{sen}(y) \cos (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\cos(y)\,\sin(x)\,y' = \sin(y)\,\cos(x)
e pede a solução geral por variáveis separáveis. Vamos separar y e x e integrar usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Reescrevendo em termos de derivada:
\cos(y)\,\sin(x)\,\frac{dy}{dx} = \sin(y)\,\cos(x).
Dividindo ambos os lados por \cos(y)\,\sin(x) (supondo \cos(y)\sin(x)\neq0), obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}\;\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \tan(y)\,\cot(x).

Passo 3

Agora separam-se as variáveis:
\frac{dy}{\tan(y)} = \cot(x)\,dx.
Usando \tfrac1{\tan(y)}=\tfrac{\cos(y)}{\sin(y)} e \cot(x)=\tfrac{\cos(x)}{\sin(x)}, fica
\frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\,dx.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int \frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\,dx.
Como \displaystyle\int\frac{\cos(u)}{\sin(u)}du = \ln\bigl|\sin(u)\bigr|, vem
\ln\bigl|\sin(y)\bigr| = \ln\bigl|\sin(x)\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados e absorvendo sinais numa constante K, obtemos
\sin(y) = K\,\sin(x),
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

\sin(y) = K\,\sin(x), com K constante arbitrária.

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