Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
x \sqrt{y^{2}+1}-y \sqrt{x^{2}+1} y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de variáveis separáveis
x \sqrt{y^{2}+1}\;-\;y \sqrt{x^{2}+1}\,\frac{dy}{dx}=0
e pede a solução geral.

Passo 2

Isolando \frac{dy}{dx} e separando as variáveis, obtemos
y \sqrt{x^{2}+1}\,\frac{dy}{dx} = x \sqrt{y^{2}+1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.

Passo 3

Integramos cada lado. Para o lado de y, faça u=y^{2}+1, du=2y\,dy:
\int \frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\,dy = \int \frac{du}{2\sqrt{u}} = \sqrt{u} = \sqrt{y^{2}+1}.
Analogamente,
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \sqrt{x^{2}+1}.

Passo 4

Igualando as primitivadas e inserindo a constante de integração C, vem
\sqrt{y^{2}+1} = \sqrt{x^{2}+1} + C
ou, de forma equivalente,
\sqrt{y^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+1}=C.

Resposta

\sqrt{y^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+1}=C

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