Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
y^{\prime}-\sqrt[4]{x y}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' - \sqrt[4]{x\,y} = 0,
que é uma EDO de variáveis separáveis. Para resolver, vamos reescrever em forma
\frac{dy}{dx} = (x\,y)^{1/4}
e fazer a separação de variáveis, em seguida integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo
\frac{dy}{dx} = x^{1/4}\,y^{1/4}.
Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{dy}{y^{1/4}} = x^{1/4}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo, usamos
\int y^{-1/4}\,dy = \int y^{-\tfrac14}\,dy = \frac{y^{3/4}}{3/4} = \frac{4}{3}\,y^{3/4}.
No lado direito,
\int x^{1/4}\,dx = \frac{x^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}\,x^{5/4}.
Incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{4}{3}\,y^{3/4} = \frac{4}{5}\,x^{5/4} + C.

Passo 4

Isolamos y. Primeiro dividimos por \tfrac{4}{3}:
y^{3/4} = \frac{\frac{4}{5}\,x^{5/4} + C}{\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{5}\,x^{5/4} + C_1,
onde C_1 = \tfrac{3}{4}\,C é uma nova constante. Elevando ambos os lados à potência 4/3:
y = \Bigl(\tfrac{3}{5}\,x^{5/4} + C_1\Bigr)^{4/3}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = \biggl(\frac{3}{5}\,x^{5/4} + C\biggr)^{4/3},
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados