Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
y^{\prime}=\frac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{y}-y}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}.
O conteúdo matemático que vamos usar é a separação de variáveis e a integração de potências.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro:
(\sqrt{y} - y)\,dy = (\sqrt{x} + x)\,dx.

Passo 3

Integramos o lado em y:
\int (\sqrt{y} - y)\,dy = \int y^{1/2}\,dy \;-\; \int y\,dy = \frac{2}{3}y^{3/2} \;-\; \frac{1}{2}y^2.

Passo 4

Integramos o lado em x:
\int (\sqrt{x} + x)\,dx = \int x^{1/2}\,dx \;+\; \int x\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \;+\; \frac{1}{2}x^2.

Passo 5

Igualando as duas integrais e adicionando a constante de integração C, obtemos a solução implícita:
\frac{2}{3}y^{3/2} \;-\; \frac{1}{2}y^2 = \frac{2}{3}x^{3/2} \;+\; \frac{1}{2}x^2 + C.

Resposta

\frac{2}{3}y^{3/2} \;-\; \frac{1}{2}y^2 = \frac{2}{3}x^{3/2} \;+\; \frac{1}{2}x^2 + C.

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