Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores complexos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes que levam a autovalores complexos. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores, além de trabalhar com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema dado é:
Podemos expressar isso como:
onde
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Isso é feito resolvendo a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
são os autovalores.
Calculando o determinante:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos começar com
.
Resolvendo
:
Da primeira equação:
Podemos escolher
, então:
Passo 6
A solução geral de um sistema com autovalores complexos é dada por combinações de funções exponenciais e trigonométricas. A fórmula geral é:
onde
,
é a parte real do autovetor,
é a parte imaginária, e
são constantes.
No nosso caso,
, então
e
. O autovetor encontrado é
, o que nos dá:
Passo 7
Substituindo tudo na fórmula da solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema.