Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores complexos)
d/dt x = 4x + 5y, d/dt y = -2x + 6y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes que levam a autovalores complexos. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores, além de trabalhar com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema dado é:
Podemos expressar isso como:
onde

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Isso é feito resolvendo a equação característica:
onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Calculando o determinante:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos começar com .
Resolvendo :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então:

Passo 6

A solução geral de um sistema com autovalores complexos é dada por combinações de funções exponenciais e trigonométricas. A fórmula geral é:
onde , é a parte real do autovetor, é a parte imaginária, e são constantes.
No nosso caso, , então e . O autovetor encontrado é , o que nos dá:

Passo 7

Substituindo tudo na fórmula da solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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