Escreva a fórmula da Regra da Cadeia para cada caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.
u = f(x, y), x = x(r, s, t), y = y(r, s, t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a fórmula da Regra da Cadeia para a função dada:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e como elas se relacionam quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de , e . Então, para achar, por exemplo, a derivada parcial de em relação a , precisamos considerar como muda quando e mudam com .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aplicando a Regra da Cadeia:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas de e em relação a .

Passo 4

De forma similar, para encontrar a derivada parcial de em relação a :
E para a derivada parcial em relação a :

Resposta

A Regra da Cadeia para a função dada é:

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