Escreva a fórmula da Regra da Cadeia para cada caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever a fórmula da Regra da Cadeia para a função dada:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e como elas se relacionam quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
usando a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. Então, para achar, por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
, precisamos considerar como
muda quando
e
mudam com
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aplicando a Regra da Cadeia:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
De forma similar, para encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
E para a derivada parcial em relação a
:
Resposta
A Regra da Cadeia para a função dada é: