Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais representado por uma matriz e uma condição inicial. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Lineares com Matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com autovalores e autovetores, além de aplicar a solução geral de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que define o sistema:
A = 1 & 1 & 4 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1
E a condição inicial é:
X(0) = 1 3 0
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação diferencial.
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de det 1-lambda & 1 & 4 0 & 2-lambda & 0 1 & 1 & 1-lambda = 0 que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular esse determinante:
Passo 4
Calculando o determinante:
Primeiro, podemos expandir pelo segundo linha já que tem zeros:
Agora que temos os autovalores -2 & 1 & 4 0 & -1 & 0 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 , , e , precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Vamos começar com :
Resolvemos :
[
]
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor .
Passo 7
Após encontrar todos os autovetores X(t) = c1 e^3t v1 + c2 e^-t v2 + c3 e^2t v3 , e , podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear desses autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores:
Onde , e são constantes que determinaremos usando a condição inicial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial 1 3 0:
X(0) = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 1 3 0
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e .
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
X(t) = c1 e^3t v1 + c2 e^-t v2 + c3 e^2t v3
onde as constantes 1 3 0, e são determinadas a partir da condição inicial .