Resolva o problema de valor inicial
X^prime=(lll1 & 1 & 4 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1) X, X(0)=(l1 3 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais representado por uma matriz e uma condição inicial. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Lineares com Matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com autovalores e autovetores, além de aplicar a solução geral de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que define o sistema:
A = 1 & 1 & 4 0 & 2 & 0 1 & 1 & 1
E a condição inicial é:
X(0) = 1 3 0
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação diferencial.

Passo 3

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de det 1-lambda & 1 & 4 0 & 2-lambda & 0 1 & 1 & 1-lambda = 0 que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular esse determinante:

Passo 4

Calculando o determinante:
Primeiro, podemos expandir pelo segundo linha já que tem zeros:
(2 - lambda) cdot det 1 - lambda & 4 1 & 1 - lambda = 0
Calculando o determinante menor:
(1 - lambda)(1 - lambda) - 4 cdot 1 = (1 - lambda)^2 - 4
Então, a equação fica:
(2 - lambda)[(1 - lambda)^2 - 4] = 0

Passo 5

Vamos resolver (1 - lambda)^2 = 4 1 - lambda = pm 2 lambda = 1 pm 2 :
lambda1 = 3 e lambda2 = -1
Portanto, temos dois autovalores:
E do passo anterior, temos também .

Passo 6

Agora que temos os autovalores -2 & 1 & 4 0 & -1 & 0 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 , , e , precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Vamos começar com :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor .

Passo 7

Após encontrar todos os autovetores X(t) = c1 e^3t v1 + c2 e^-t v2 + c3 e^2t v3 , e , podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear desses autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores:
Onde , e são constantes que determinaremos usando a condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial 1 3 0:
X(0) = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 1 3 0
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
X(t) = c1 e^3t v1 + c2 e^-t v2 + c3 e^2t v3
onde as constantes 1 3 0, e são determinadas a partir da condição inicial .

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