Use o método de coeficientes indeterminados para resolver o sistema.
X' = (-1 5; -1 1) X + (sen(t); -2 cos(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método dos coeficientes indeterminados. Basicamente, temos um sistema onde a derivada de depende dela mesma e de funções trigonométricas ( e ). Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que inclui a solução homogênea (quando a parte não homogênea é zero) e a solução particular que leva em conta essas funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, resolver , onde . Para isso, encontramos os autovalores ( ) resolvendo o determinante :
Simplificando:
Como os autovalores são complexos ( e ), a solução homogênea será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para o sistema completo usando o método dos coeficientes indeterminados. A parte não homogênea é , então tentamos uma solução da forma:
Derivando :
Substituindo e na equação original:
Realizando a multiplicação:
Agora, igualando os coeficientes de e de ambos os lados, obtemos um sistema de equações:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , , e :
Após resolver, obtemos:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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