Resolva as seguintes inequações:
(f) (x-2)/(x-3) <= x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . A matéria envolvida aqui é inequações racionais, que lidam com frações onde o numerador e o denominador são expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular frações, lidar com desigualdades e analisar possíveis valores de que fazem a inequação ser verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos combinar essas duas expressões em uma única fração. Para isso, encontramos um denominador comum, que neste caso é :

Passo 4

Com os denominadores iguais, podemos subtrair os numeradores:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar o numerador. Primeiro, expandimos :
Então substituímos de volta na fração:
Simplificando o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 6

Para simplificar, podemos multiplicar o numerador e o denominador por -1 (lembrando que ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte):
Ou seja:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da inequação, ou seja, os valores de que fazem o numerador ou o denominador serem zero:
  • Numerador:
    • Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
  • Denominador:

Passo 8

Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é satisfeita:

Passo 9

Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 10

Com base nos testes, a inequação é satisfeita nos intervalos onde o resultado foi maior ou igual a zero:

Resposta

A solução da inequação é:

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