Encontre a equação cartesiana e trace o gráfico da equação polar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana e desenhar o gráfico da equação polar
. A matéria envolvida aqui é Coordenadas Polares e Cartesianos. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas polares em cartesianos usando algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. Queremos transformar isso para o sistema cartesiano, que usa
.
Passo 3
Para fazer a conversão, usamos as seguintes fórmulas de relacionamento entre coordenadas polares e cartesianas:
E também sabemos que:
Passo 4
Dado que
, vamos substituir
pela expressão em termos de
e
:
Então,
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos na equação:
Passo 7
Agora, vamos rearranjar a equação para identificar a figura geométrica:
Para completar o quadrado em
, adicionamos e subtraímos 1:
Passo 8
A última equação
é a equação de uma circunferência com centro em
e raio 1.
Resposta
A equação cartesiana correspondente é
, que representa uma circunferência com centro no ponto
e raio 1.