Encontre a equação cartesiana e trace o gráfico da equação polar r = 2 sen(theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana e desenhar o gráfico da equação polar . A matéria envolvida aqui é Coordenadas Polares e Cartesianos. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas polares em cartesianos usando algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Queremos transformar isso para o sistema cartesiano, que usa .

Passo 3

Para fazer a conversão, usamos as seguintes fórmulas de relacionamento entre coordenadas polares e cartesianas:
E também sabemos que:

Passo 4

Dado que , vamos substituir pela expressão em termos de e :
Então,

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Lembrando que , substituímos na equação:

Passo 7

Agora, vamos rearranjar a equação para identificar a figura geométrica:
Para completar o quadrado em , adicionamos e subtraímos 1:

Passo 8

A última equação é a equação de uma circunferência com centro em e raio 1.

Resposta

A equação cartesiana correspondente é , que representa uma circunferência com centro no ponto e raio 1.

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