Determine a solução geral do sistema linear cuja matriz completa foi reduzida para
\left[\begin{array}{cccccc} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\\\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada já em forma escalonada (não necessariamente reduzida) de um sistema com cinco incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) e três equações. O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema usando identificação de colunas pivô, variáveis livres e retro-substituição.

Passo 2

Vamos ler cada linha como uma equação. Da primeira linha obtemos
x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} - 5x_{4} - 2x_{5} = -4,
da segunda
2x_{3} - 8x_{4} - x_{5} = -3,
e da terceira
x_{5} = 7.

Passo 3

Identificamos as colunas pivô (primeiro elemento não nulo de cada linha):
  • na linha 1 o pivô está em x_{1},
  • na linha 2 o pivô está em x_{3},
  • na linha 3 o pivô está em x_{5}.
    Logo as variáveis x_{1},x_{3},x_{5} são básicas e as restantes x_{2},x_{4} são livres.

Passo 4

Atribuímos parâmetros às variáveis livres. Chamemos
x_{2} = s,\quad x_{4} = t,
com s,t\in\mathbb{R}. Da terceira equação já tínhamos
x_{5} = 7.

Passo 5

Usamos a segunda equação para encontrar x_{3}. Substituindo x_{4}=t e x_{5}=7 em
2x_{3} - 8x_{4} - x_{5} = -3
vem
2x_{3} - 8t - 7 = -3 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{3} = -3 +8t +7 = 4 +8t \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = 2 + 4t.

Passo 6

Usamos a primeira equação para encontrar x_{1}. Substituindo x_{2}=s, x_{3}=2+4t, x_{4}=t e x_{5}=7 em
x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} - 5x_{4} -2x_{5} = -4
temos
x_{1} + 6s + 2(2+4t) -5t -2\cdot 7 = -4 \;\Longrightarrow\; x_{1} +6s +4 +8t -5t -14 = -4
x_{1} +6s + (8t-5t) -10 = -4 \;\Longrightarrow\; x_{1} +6s +3t = 6 \;\Longrightarrow\; x_{1} = 6 -6s -3t.

Resposta

A solução geral do sistema é
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\bigr) = \bigl(6 -6s -3t,\;s,\;2+4t,\;t,\;7\bigr),
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros livres.

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