Nos Exercícios abaixo, determine o(s) valor(es) de h que fazem com que a matriz seja a matriz completa de um sistema linear possível.
\left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \\h & 6 & -2\end{array}\right] \sim\left[ \begin{array}{ccc}1 & -3 & 1 \\0 & 3 h-6 & h+2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz completa de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, dependendo do parâmetro h:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1\\\ h & 6 & -2 \end{array}\right]
e já informa a forma após eliminação de Gauss:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1\\\\ 0 & 3h-6 & h+2 \end{array}\right].
Para que o sistema seja possível (consistente), não podemos ter uma linha do tipo \bigl[0\;0\mid c\bigr] com c\neq0. Vamos analisar isto.

Passo 2

Na segunda linha escalonada temos os coeficientes
0\cdot x + (3h-6)\,y = h+2.
Se 3h-6\neq0, então essa equação resolve-se para
y = \frac{h+2}{3h-6},
e o sistema tem solução única (é consistente).

Passo 3

Agora, se 3h-6=0, então
3h-6=0 \;\Longrightarrow\; h=2.
Substituindo h=2 na equação da segunda linha, fica
0\cdot y = 2+2 = 4,
ou seja, 0=4, o que é impossível. Nesse caso o sistema é inconsistente.

Resposta

O sistema é possível para todos os valores de h tais que h \neq 2.

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