Nos Exercícios abaixo, determine o(s) valor(es) de h que fazem com que a matriz seja a matriz completa de um sistema linear possível.
\left[ \begin{array}{ccc}1 & h & 3 \\2 & 8 & 1\end{array}\right] \sim\left[ \begin{array}{ccc}1 & h & 3 \\0 & 2 h-8 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz completa de um sistema linear com parâmetro h e mostra que, por eliminação, ela fica equivalente a
\begin{pmatrix} 1 & h & 3\\\\ 0 & 2h-8 & 5 \end{pmatrix}.
Queremos os valores de h que tornam o sistema possível, ou seja, que garantam pelo menos uma solução.

Passo 2

A forma escalonada corresponde ao sistema
\begin{cases} x + h\,y = 3,\\\ (2h - 8)\,y = 5. \end{cases}
Se 2h-8 \neq 0, então a segunda equação determina
y = \frac{5}{2h-8}
e, em seguida, x é obtido na primeira equação. Logo, para 2h-8\neq0 o sistema tem solução única.

Passo 3

Se 2h-8 = 0, isto é, h=4, a segunda equação vira
0\cdot y = 5,
ou seja, 0=5, que é uma contradição. Nesse caso o sistema não admite solução.

Passo 4

Concluímos que o sistema é possível exatamente quando 2h-8\neq0, ou seja, quando h\neq4.

Resposta

h \neq 4

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