Determine a solução geral dos sistemas abaixo.
(4,0 pontos)
x^prime=(cc-2 & -3 0 & 1) x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi proposto. O enunciado nos dá um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem representado por:
x^prime = -2 & -3 0 & 1 x
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos e valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) de matrizes, para encontrar a solução geral desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz que está no sistema. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica da matriz. A matriz dada é:
A = -2 & -3 0 & 1
A equação característica é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = -2 - lambda & -3 0 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(1 - lambda) - (0)(-3) = (-2 - lambda)(1 - lambda)
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
(-2 - lambda)(1 - lambda) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação:
-2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -2
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
Então, os autovalores são lambda1 = -2 e lambda2 = 1 .

Passo 5

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autovetor correspondente resolvendo [(A - \lambda I)v = 0).
Primeiro, para :
Resolvendo :
Isso nos dá , então o autovetor é .

Passo 6

Agora, para [\lambda_2 = 1):
Resolvendo :
A primeira equação nos dá , então o autovetor é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais associadas a cada autovalor e autovetor:
x(t) = c1 e^lambda1 t v^(1) + c2 e^lambda2 t v^(2)
Onde c1 e c2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = c1 e^-2 t 1 0 + c2 e^t -1 1
Onde c1 e c2 são constantes reais.

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