Determine a solução geral dos sistemas abaixo.
(4,0 pontos) ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi proposto. O enunciado nos dá um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem representado por:
x^prime = -2 & -3 0 & 1 x
Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos e valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) de matrizes, para encontrar a solução geral desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz que está no sistema. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica da matriz. A matriz dada é:
A = -2 & -3 0 & 1
A equação característica é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Então, os autovalores são lambda1 = -2 e lambda2 = 1 .
Passo 5
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autovetor correspondente resolvendo [(A - \lambda I)v = 0).
Primeiro, para :
Resolvendo :
Isso nos dá , então o autovetor é .
Passo 6
Agora, para [\lambda_2 = 1):
Resolvendo :
A primeira equação nos dá , então o autovetor é .
Passo 7
Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais associadas a cada autovalor e autovetor:
x(t) = c1 e^lambda1 t v^(1) + c2 e^lambda2 t v^(2)
Onde c1 e c2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.