Determine a solução geral dos sistemas cujas matrizes ampliadas (ou completas) associadas a eles são dadas nos itens abaixo:
\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 0 & -9 & 0 & 4 \\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 \\\ 0 & 0 & 2 & 1 & -7 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz ampliada de um sistema linear com quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, já em forma escalonada. O conteúdo aqui é resolução de sistemas por substituição regressiva (back‐substitution). A ideia é identificar as equações linha a linha, começando da última, e ir achando cada variável.

Passo 2

Observe os pivôs (primeiro coeficiente não nulo em cada linha):
– Linha 4 pivô em coluna 4: equação envolvendo só \,x_{4}.
– Linha 3 pivô em coluna 3: equação em \,x_{3} e \,x_{4}.
– Linha 2 pivô em coluna 2: equação em \,x_{2} e \,x_{3}.
– Linha 1 pivô em coluna 1: equação em \,x_{1} e \,x_{3}.
Não há variáveis livres, logo o sistema tem solução única.

Passo 3

Da linha 4 temos
x_{4} = 1.

Passo 4

Da linha 3 temos
2\,x_{3} + 1\cdot x_{4} = -7.
Substituindo \,x_{4}=1,
2\,x_{3} + 1 = -7 \quad\Longrightarrow\quad 2\,x_{3} = -8 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = -4.

Passo 5

Da linha 2 temos
x_{2} + 3\,x_{3} = -1.
Substituindo \,x_{3}=-4,
x_{2} + 3\cdot(-4) = -1 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} - 12 = -1 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 11.

Passo 6

Da linha 1 temos
x_{1} - 9\,x_{3} = 4.
Substituindo \,x_{3}=-4,
x_{1} - 9\cdot(-4) = 4 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} + 36 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = -32.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (-32,\,11,\,-4,\,1).

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