Para que valores de h e k o sistema seguinte é possível?
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-3 x_{2}=h \\\\ 6 x_{1}-9 x_{2}=k \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com duas equações e duas incógnitas x_{1},x_{2}, dependendo dos parâmetros h e k:
\begin{cases} 2x_{1}-3x_{2}=h,\\\\ 6x_{1}-9x_{2}=k. \end{cases}
O conteúdo é consistência de sistemas lineares e proporcionalidade de equações. Para resolver, vamos comparar as duas equações e verificar quando elas são compatíveis.

Passo 2

Observe que a segunda equação é exatamente o triplo da primeira no lado esquerdo:
3\,(2x_{1}-3x_{2})=6x_{1}-9x_{2}.
Para que o sistema seja consistente, o mesmo fator deve valer também no lado direito, ou seja, deve haver
k=3h.

Passo 3

Conclusão sobre a existência de solução:
  • Se k=3h, as duas equações são proporcionais e representam a mesma reta no plano (x_{1},x_{2}), logo há infinitas soluções.
  • Se k\neq3h, as retas são paralelas e distintas, não há ponto de interseção, portanto não há solução.

Resposta

O sistema é possível (tem solução) se, e somente se,
k=3h.

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