Determine a solução geral dos sistemas cujas matrizes ampliadas (ou completas) associadas a eles são dadas nos itens abaixo:
\left[\begin{array}{ccccc:c}1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & -3 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema linear com cinco variáveis x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 em forma escalonada. O conteúdo aqui é resolução de sistema por retro-substituição: vamos ler as equações correspondentes e resolver de baixo para cima.

Passo 2

As três equações extraídas da matriz aumentada são
x_{1}+6x_{2}+2x_{3}-5x_{4}-2x_{5}=-4
2x_{3}-8x_{4}-x_{5}=-3
x_{5}=7

Passo 3

Identificamos os pivôs nas colunas 1, 3 e 5. Logo, as variáveis livres são
x_{2}\quad\text{e}\quad x_{4}.

Passo 4

Começando pela última equação:
x_{5}=7.
Na segunda equação substituímos x_{5}=7:
2x_{3}-8x_{4}-7=-3 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{3}-8x_{4}=4 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=2+4x_{4}.
Na primeira equação substituímos x_{3} e x_{5}:
x_{1}+6x_{2}+2(2+4x_{4})-5x_{4}-2\cdot7=-4
x_{1}+6x_{2}+4+8x_{4}-5x_{4}-14=-4 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+6x_{2}+3x_{4}=10
\Longrightarrow\quad x_{1}=10-6x_{2}-3x_{4}.

Passo 5

Definimos parâmetros para as variáveis livres:
x_{2}=s,\quad x_{4}=t,\quad s,t\in\mathbb{R}.
Então
x_{1}=10-6s-3t,\quad x_{3}=2+4t,\quad x_{5}=7.

Resposta

A solução geral do sistema é
\begin{cases} x_{1}=10-6s-3t,\\\ x_{2}=s,\\\ x_{3}=2+4t,\\\ x_{4}=t,\\\ x_{5}=7, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R},
ou, em forma vetorial,
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\bigr) =(10,0,2,0,7) +s\,(-6,1,0,0,0) +t\,(-3,0,4,1,0).

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