Questão 1. (9pts) Quais das sequências a seguir convergem e quais divergem? encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=\frac{n^{2}}{\ln n}, n>1;

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{n^{2}}{\ln n},\quad n>1,
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, encontrar o seu limite. O conteúdo aqui é análise de limites de sequências em que o numerador cresce como função polinomial e o denominador como função logarítmica.

Passo 2

Para investigar o comportamento de a_{n} quando n\to\infty, observamos que tanto o numerador n^{2} quanto o denominador \ln n tendem a +\infty. Assim, podemos estudar o limite da função contínua
f(x) = \frac{x^{2}}{\ln x},\quad x>1,
quando x\to\infty, e esse resultado vale também para a sequência.

Passo 3

Aplicando o critério de crescimento de funções ou o Teorema de L’Hôpital, temos uma indeterminação \tfrac{\infty}{\infty}. Usando L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{\ln x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(x^{2})}{\frac{d}{dx}(\ln x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{1/x} =\lim_{x\to\infty}2x^{2} =+\infty.
Isso mostra que f(x)\to+\infty e, portanto, a_{n}\to+\infty.

Resposta

A sequência diverge, pois
\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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