Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem
Aqui o conteúdo envolvido é encontrar autovalores e autovetores da matriz de coeficientes e usar a fórmula da solução
.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma vetor–matriz
, com
Como
é triangular por blocos, um autovalor imediato é
(da posição
). Os outros dois vêm do bloco inferior
cujo polinômio característico é
Logo
e
.
Passo 3
Para
, resolvemos
:
Da segunda equação segue
, então
e
livre. Podemos escolher
Passo 4
Para
As duas últimas dão
, isto é
. Tomando
obtemos
Passo 5
Para
Da segunda vem
, logo
. Tomando
temos
Passo 6
Como os três autovalores são distintos, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.