Questão 1. (9pts) Quais das sequências a seguir convergem e quais divergem? encontre o limite de cada sequência convergente.
a_{n}=(-1)^{n} \sqrt[n]{2}.

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
a_{n}=(-1)^{n}\sqrt[n]{2}
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, encontrar o seu limite. Aqui vamos usar propriedades de limites de sequências, especialmente para a parte \sqrt[n]{2}, e analisar o papel do fator alternante (-1)^{n}.

Passo 2

Primeiro examinamos o termo \sqrt[n]{2}=2^{1/n}. Sabemos que, para qualquer número fixo c>0,
\lim_{n\to\infty}c^{1/n}=1.
Aplicando isso com c=2, obtemos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2} =\lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1.

Passo 3

Agora incluímos o sinal alternante (-1)^{n}. Note que isso faz a sequência oscilar de sinal. Para verificar convergência, é útil olhar duas sub-sequências:
– Para n par, escrevemos n=2k. Então
a_{2k}=(-1)^{2k}\sqrt[2k]{2} =+1\cdot2^{1/(2k)}\;\longrightarrow\;1.
– Para n ímpar, escrevemos n=2k+1. Então
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\sqrt[2k+1]{2} =-1\cdot2^{1/(2k+1)}\;\longrightarrow\;-1.

Passo 4

Como as duas sub-sequências convergem para limites diferentes (a par converge para 1 e a ímpar converge para -1), não existe um único número que seja limite de toda a sequência (a_{n}). Por isso, a sequência não converge.

Resposta

A sequência diverge (não possui limite).

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