Questão 1. (9pts) Quais das sequências a seguir convergem e quais divergem? encontre o limite de cada sequência convergente.
.
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e, em caso de convergência, encontrar o seu limite. Aqui vamos usar propriedades de limites de sequências, especialmente para a parte
, e analisar o papel do fator alternante
.
Passo 2
Primeiro examinamos o termo
. Sabemos que, para qualquer número fixo
,
Aplicando isso com
, obtemos
Passo 3
Agora incluímos o sinal alternante
. Note que isso faz a sequência oscilar de sinal. Para verificar convergência, é útil olhar duas sub-sequências:
– Para
par, escrevemos
. Então
– Para
ímpar, escrevemos
. Então
Passo 4
Como as duas sub-sequências convergem para limites diferentes (a par converge para
e a ímpar converge para
), não existe um único número que seja limite de toda a sequência
. Por isso, a sequência não converge.
Resposta
A sequência diverge (não possui limite).