Num triângulo isósceles de base
e dois lados iguais a 1 , seja
a altura baixada a partir de um dos vértices da base. Mostre que se tem
Conclua daí que se
é o comprimento do lado de um polígono regular de
lados inscritos num círculo de raio 1 então
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo isósceles com lados iguais de comprimento
e base de comprimento
. Denotamos por
a altura traçada de um dos vértices da base até o lado oposto (um dos lados iguais). Para resolvê‐lo vamos usar o Teorema de Pitágoras em dois triângulos retângulos que surgem ao traçar essa altura e, em seguida, aplicar o resultado a um polígono regular inscrito num círculo de raio
.
Passo 2
Rotulemos o triângulo isósceles como
com
(base) e
. Seja
o pé da altura abaixada de
sobre o lado
. Então nos triângulos retângulos
e
temos:
Pelo Teorema de Pitágoras em
:
Como
, no triângulo
vale
Expandindo:
Passo 3
Agora seja
o lado de um polígono regular de
lados inscrito num círculo de raio
. O lado do polígono de
lados é
num triângulo isósceles
com
e ângulo central
. A altura de
ao lado
é a distância de
à reta que faz ângulo
com o eixo, logo
pois
. Substituindo
na fórmula de
obtida,