Num triângulo isósceles de base b e dois lados iguais a 1 , seja a a altura baixada a partir de um dos vértices da base. Mostre que se tem
b^{2}=2-2 \sqrt{1-a^{2}}
Conclua daí que se I_{n} é o comprimento do lado de um polígono regular de n lados inscritos num círculo de raio 1 então
l_{2 n}^{2}=2-\sqrt{4-l_{n}^{2}}

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo isósceles com lados iguais de comprimento 1 e base de comprimento b. Denotamos por a a altura traçada de um dos vértices da base até o lado oposto (um dos lados iguais). Para resolvê‐lo vamos usar o Teorema de Pitágoras em dois triângulos retângulos que surgem ao traçar essa altura e, em seguida, aplicar o resultado a um polígono regular inscrito num círculo de raio 1.

Passo 2

Rotulemos o triângulo isósceles como ABC com AB=b (base) e BC=CA=1. Seja D o pé da altura abaixada de A sobre o lado BC. Então nos triângulos retângulos ADC e ADB temos:
AD = a, \quad CD = y, \quad BD = x, \quad x+y = BC = 1.
Pelo Teorema de Pitágoras em ADC:
a^{2} + y^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \sqrt{1 - a^{2}}.
Como x = 1 - y, no triângulo ADB vale
AD^{2} + BD^{2} = AB^{2} \;\Longrightarrow\; a^{2} + x^{2} = b^{2} \;\Longrightarrow\; b^{2} = a^{2} + \bigl(1 - \sqrt{1 - a^{2}}\bigr)^{2}.
Expandindo:
b^{2} = a^{2} + 1 - 2\sqrt{1 - a^{2}} + (1 - a^{2}) = 2 - 2\sqrt{1 - a^{2}}.

Passo 3

Agora seja l_{n} o lado de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio 1. O lado do polígono de 2n lados é
l_{2n} = b
num triângulo isósceles OAB com OA=OB=1 e ângulo central \angle AOB = \pi/n. A altura de A ao lado OB é a distância de (1,0) à reta que faz ângulo \pi/n com o eixo, logo
a = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) = \frac{l_{n}}{2},
pois l_{n}=2\sin(\pi/n). Substituindo a = l_{n}/2 na fórmula de b^{2} obtida,
l_{2n}^{2} = 2 \;-\; 2\sqrt{\,1 - \bigl(\tfrac{l_{n}}{2}\bigr)^{2}} = 2 \;-\; 2\sqrt{\frac{4 - l_{n}^{2}}{4}} = 2 \;-\; \sqrt{4 - l_{n}^{2}}.

Resposta

l_{2n}^{2} = 2 - \sqrt{4 - l_{n}^{2}}.

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