Prove que os pontos médios de um quadrilátero qualquer são os vértices de um paralelogramo cuja área é a metade do quadrilátero inicial.

Passo 1

Seja ABCD um quadrilátero qualquer e sejam E, F, G e H os pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. Vamos usar coordenadas vetoriais para mostrar que EFGH é um paralelogramo e depois comparar áreas via produto vetorial.

Passo 2

Em notação vetorial, escrevemos
E = \tfrac{A+B}{2},\quad F = \tfrac{B+C}{2},\quad G = \tfrac{C+D}{2},\quad H = \tfrac{D+A}{2}.

Passo 3

Para verificar que EFGH é um paralelogramo, basta notar que
E + G = \frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2} = \frac{A+B+C+D}{2} = \frac{B+C}{2} + \frac{D+A}{2} = F + H.
Como num quadrilátero os vetores soma dos vértices opostos coincidem, isso implica que EFGH é um paralelogramo.

Passo 4

Num paralelogramo a área é o módulo do produto vetorial de dois lados adjacentes. Tomemos
\overrightarrow{EF}=F-E=\frac{C-A}{2}, \quad \overrightarrow{EH}=H-E=\frac{D-B}{2}.
Logo
\text{área}(EFGH) = \Bigl|\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{EH}\Bigr| = \Bigl|\tfrac{C-A}{2}\times\tfrac{D-B}{2}\Bigr| = \tfrac14\bigl|(C-A)\times(D-B)\bigr|.á

Passo 5

Agora decomponhamos o quadrilátero ABCD em dois triângulos pelo vértice B:
\text{área}(ABCD) = \tfrac12\,\bigl|(B-A)\times(D-A)\bigr| + \tfrac12\,\bigl|(C-B)\times(D-B)\bigr|.á
Usando a identidade vetorial
(C-A)\times(D-B) =(B-A)\times(D-A)+(C-B)\times(D-B),
vemos que
\text{área}(ABCD) = \tfrac12\bigl|(C-A)\times(D-B)\bigr|.á

Passo 6

Comparando as duas expressões obtidas,
\text{área}(EFGH) = \tfrac14\bigl|(C-A)\times(D-B)\bigr| = \tfrac12\;\tfrac12\bigl|(C-A)\times(D-B)\bigr| = \tfrac12\,\text{área}(ABCD).áá

Resposta

Os pontos médios de ABCD formam um paralelogramo EFGH e
\text{área}(EFGH)=\tfrac12\,\text{área}(ABCD).áá

Exercícios relacionados