Prove que os pontos médios de um quadrilátero qualquer são os vértices de um paralelogramo cuja área é a metade do quadrilátero inicial.
Passo 1
Seja ABCD um quadrilátero qualquer e sejam E, F, G e H os pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. Vamos usar coordenadas vetoriais para mostrar que EFGH é um paralelogramo e depois comparar áreas via produto vetorial.
Passo 2
Em notação vetorial, escrevemos
E = \tfrac{A+B}{2},\quad F = \tfrac{B+C}{2},\quad G = \tfrac{C+D}{2},\quad H = \tfrac{D+A}{2}.
Passo 3
Para verificar que EFGH é um paralelogramo, basta notar que
E + G = \frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2} = \frac{A+B+C+D}{2} = \frac{B+C}{2} + \frac{D+A}{2} = F + H.
Como num quadrilátero os vetores soma dos vértices opostos coincidem, isso implica que EFGH é um paralelogramo.
Passo 4
Num paralelogramo a área é o módulo do produto vetorial de dois lados adjacentes. Tomemos