Determine a solução da inequação \frac{x+1}{-x-5} \leq 0 para x \in \mathbb{R}.
a) [-1, \infty[
b) ]-\infty,-5[\cup[-1, \infty[
c) [-5, \infty[
d) ]-\infty, 1] \cup[5, \infty[
e) ]-\infty,-1]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x+1}{-x-5} \leq 0
no conjunto dos reais. O conteúdo aqui é inequação racional e vamos precisar analisar o sinal do numerador e do denominador, encontrando seus zeros e estudando intervalos.

Passo 2

Reescrevemos o denominador para facilitar o estudo de sinais. Note que
-\,x-5 = -(x+5),
logo
\frac{x+1}{-x-5} = -\,\frac{x+1}{x+5}.
Assim a inequação original
\frac{x+1}{-x-5} \le 0
é equivalente a
-\,\frac{x+1}{x+5} \le 0.
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade), obtemos
\frac{x+1}{x+5} \ge 0.

Passo 3

Agora identificamos os pontos críticos da fração \frac{x+1}{x+5}:
  • Numerador x+1=0 em x=-1.
  • Denominador x+5=0 em x=-5, ponto onde a expressão não está definida.

Passo 4

Fazemos o estudo de sinais de \frac{x+1}{x+5}:
Intervalos determinados pelos pontos -5 e -1:
  1. Para x<-5:
  • x+1<0
  • x+5<0
    Logo \frac{x+1}{x+5}>0.
  1. Para -5<x<-1:
  • x+1<0
  • x+5>0
    Logo \frac{x+1}{x+5}<0.
  1. Para x>-1:
  • x+1>0
  • x+5>0
    Logo \frac{x+1}{x+5}>0.
Além disso, \frac{x+1}{x+5}=0 em x=-1, e não existe em x=-5.
Queremos \frac{x+1}{x+5}\ge0, então escolhemos os intervalos onde é positiva ou zero:
x<-5 \quad\text{ou}\quad x=-1 \quad\text{ou}\quad x>-1.
Em notação de intervalo isso é
(-\infty,-5)\;\cup\;[-1,\infty).

Resposta

b) (-\infty,-5)\cup[-1,\infty)

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