Utilizando a fatoração, simplifique a expressão a seguir:
\frac{x^{3}+8}{x^{3}-2 x^{2}+4 x} \div \frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{3}+8}{x^{3}-2x^{2}+4x}\;\div\;\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}.
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios (soma de cubos, diferença de quadrados, trinômio quadrado e fator comum) e divisão de frações algébricas, que convertemos em multiplicação pelo inverso.

Passo 2

Fatoramos cada polinômio:
x^{3}+8 = (x+2)\,(x^{2}-2x+4)
x^{3}-2x^{2}+4x = x\,(x^{2}-2x+4)
x^{2}-4 = (x-2)\,(x+2)
x^{2}+x-6 = (x+3)\,(x-2)

Passo 3

Substituímos na expressão original e passamos da divisão para multiplicação pelo inverso:
\frac{(x+2)(x^{2}-2x+4)}{x(x^{2}-2x+4)} \;\times\; \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)}.

Passo 4

Cancelamos os fatores comuns em numerador e denominador:
  • (x^{2}-2x+4) aparece em cima e embaixo.
  • (x+2) aparece em cima e embaixo.
  • (x-2) aparece em cima e embaixo.
Resta:
\frac{x+3}{x}.

Passo 5

O resultado simplificado é \dfrac{x+3}{x}, com as restrições de domínio oriundas dos fatores cancelados: x\neq 0, x\neq 2, x\neq -2, x\neq -3.

Resposta

\frac{x+3}{x}

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