Determine a solução do P.V.I. doty+e^t y=0 y(0)=3 / 2.

Passo 1

O P.V.I. dado é a equação diferencial linear de primeira ordem
dot y + e^t y = 0
com condição inicial y(0)=tfrac32. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor y(0)=tfrac32.

Passo 2

O coeficiente de y é e^t, logo o fator integrante é
mu(t) = exp!gl(integral e^t,dtgr) = expl(e^tr)

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
exp(e^t),dot y + e^texp(e^t),y = 0,
que pode ser reconhecida como derivada do produto
ddt!l(y,exp(e^t)r) = 0

Passo 4

Integrando em t segue
y,exp(e^t) = C,
logo a solução geral é
y(t) = C expl(-e^tr)

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=tfrac32:
y(0) = C exp(-e^0) = C e^-1 = tfrac32 Longrightarrow C = tfrac32,e
Substituindo em y(t), concluímos
y(t) = tfrac32,e;expl(-e^tr) = tfrac32,expl(1 - e^tr)

Resposta

y(t) = 32,e;expl(-e^tr) ou, equiva<=ntemente, y(t) = 32,expl(1 - e^tr)

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