Determine uma solução particular de cada equação abaixo.
\ddot{y}+2 \dot{y}=1+t^{2}+e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
\ddot y + 2\dot y = 1 + t^2 + e^{-2t}.
O método que vamos usar é o dos coeficientes a determinar, isto é, vamos decompor o termo não-homogêneo em partes simples 1, t^2 e e^{-2t}, achar uma solução particular para cada parte e depois somá-las.

Passo 2

Para o termo constante 1, suponha um ansatz do tipo
y_{p1}(t) = A t + B.
Então
\dot y_{p1} = A,\qquad \ddot y_{p1}=0,
e a equação torna-se
0 + 2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.
O coeficiente B não entra no lado direito (fica absorvido pela solução homogênea), então podemos escolher B=0. Logo
y_{p1}(t) = \tfrac12\,t.

Passo 3

Para o termo polinomial t^2, normalmente tentaríamos
y_{p2}(t) = a t^2 + b t + c,
mas como r=0 é raiz da equação característica da homogênea, multiplicamos por t e tomamos
y_{p2}(t) = A t^3 + B t^2 + C t.
Calculando
\dot y_{p2} = 3A t^2 + 2B t + C,\qquad \ddot y_{p2} = 6A t + 2B,
temos
\ddot y_{p2} + 2\dot y_{p2} = (6A t + 2B) + 2(3A t^2 + 2B t + C) = 6A t^2 + (6A + 4B)\,t + (2B+2C).
Esse resultado deve igualar t^2, isto é,
6A = 1,\quad 6A + 4B = 0,\quad 2B + 2C = 0.
Daí
A = \tfrac16,\quad B = -\tfrac14,\quad C = \tfrac14,
portanto
y_{p2}(t) = \tfrac16\,t^3 - \tfrac14\,t^2 + \tfrac14\,t.

Passo 4

Para o termo exponencial e^{-2t}, note que -2 é raiz da homogênea, então usamos
y_{p3}(t) = C\,t\,e^{-2t}.
Calculando
\dot y_{p3} = C(1 - 2t)e^{-2t},\qquad \ddot y_{p3} = C(4t - 4)e^{-2t},
obtém-se
\ddot y_{p3} + 2\dot y_{p3} = C\bigl[(4t-4) + 2(1-2t)\bigr]e^{-2t} = -2C\,e^{-2t}.
Para igualar e^{-2t} basta -2C = 1, ou seja C = -\tfrac12. Assim
y_{p3}(t) = -\tfrac12\,t\,e^{-2t}.

Resposta

Somando as três partes, uma solução particular qualquer é
y_p(t) = y_{p1}(t) + y_{p2}(t) + y_{p3}(t) = \tfrac16\,t^3 \;-\;\tfrac14\,t^2\;+\;\tfrac34\,t\;-\;\tfrac12\,t\,e^{-2t}.

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