Determine uma solução particular de cada equação abaixo.
\ddot{y}+\dot{y}-6 y=\operatorname{sen} t+t e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
\ddot y + \dot y - 6y = \sin t + t e^{2t}.
O método a usar é o dos coeficientes indeterminados, e como o lado direito é soma de duas funções, vamos buscar
y_p = y_{p1} + y_{p2},
onde y_{p1} resolve o forçamento \sin t e y_{p2} resolve o forçamento t e^{2t}.

Passo 2

Para \sin t (não há ressonância com as raízes r=2,-3 da homogênea) tomamos
y_{p1} = A\cos t + B\sin t.
Então
\dot y_{p1} = -A\sin t + B\cos t, \quad \ddot y_{p1} = -A\cos t - B\sin t.
Substituindo em \ddot y+\dot y-6y=\sin t
(-A\cos t - B\sin t)+(-A\sin t + B\cos t)-6(A\cos t + B\sin t) = (-7A + B)\cos t +(-A -7B)\sin t
que deve ser igual a \sin t. Igualando coeficientes:
-7A + B = 0,\quad -A -7B = 1 \quad\Longrightarrow\quad A=-\tfrac1{50},\;B=-\tfrac7{50}.
Logo
y_{p1} = -\tfrac1{50}\cos t \;-\;\tfrac7{50}\sin t.

Passo 3

Para t e^{2t} há ressonância simples ( r=2 é raiz da homogênea), então escolhemos
y_{p2} = e^{2t}(C t^2 + D t).
Calculando derivadas:
\dot y_{p2} = e^{2t}\bigl(2(Ct^2+Dt) + (2Ct + D)\bigr) = e^{2t}[2C t^2 + (2D+2C)t + D],
\ddot y_{p2} = e^{2t}[4C t^2 + (4D+8C)t + (4D+2C)].
Substituindo em \ddot y+\dot y-6y = t e^{2t} e agrupando e^{2t}:
e^{2t}\bigl[10C\,t + (5D+2C)\bigr] = t e^{2t}.
Logo
10C = 1,\quad 5D+2C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac1{10},\;D=-\tfrac1{25}.
Assim
y_{p2} = e^{2t}\Bigl(\tfrac1{10}t^2 - \tfrac1{25}t\Bigr).

Passo 4

A solução particular completa é
y_p = y_{p1} + y_{p2} = -\tfrac1{50}\cos t - \tfrac7{50}\sin t + e^{2t}\Bigl(\tfrac1{10}t^2 - \tfrac1{25}t\Bigr).

Resposta

y_p(t) = -\frac{1}{50}\cos t \;-\;\frac{7}{50}\sin t \;+\;e^{2t}\Bigl(\frac{1}{10}t^2 - \frac{1}{25}t\Bigr).

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