Seja L(y)=\ddot{y}-2 \lambda_{1} \dot{y}+\lambda_{1}^{2} y.
(a) Mostre que L\left(e^{\lambda_{1} t} v(t)\right)=e^{\lambda_{1} t} \ddot{v}(t).
(b) Determine a solução geral da equação \ddot{y}-6 \dot{y}+9 y=t^{\frac{3}{2}} e^{3 t}

Passo 1

O enunciado define o operador
L(y)=\ddot y-2\lambda_{1}\dot y+\lambda_{1}^{2}y
e pede:
(a) mostrar que para qualquer função v(t) vale
L\bigl(e^{\lambda_{1}t}v(t)\bigr)=e^{\lambda_{1}t}v''(t),
(b) usar isso para resolver a EDO
\ddot y-6\dot y+9y=t^{3/2}e^{3t}.
A ideia é, em (a), calcular diretamente as derivadas de y=e^{\lambda_{1}t}v(t) e em (b) usar a substituição y=e^{3t}v(t) para reduzir a equação a uma que se integra facilmente.

Passo 2

Seja y(t)=e^{\lambda_{1}t}v(t). Calculamos
y'=\frac{d}{dt}\bigl(e^{\lambda_{1}t}v(t)\bigr) =e^{\lambda_{1}t}\bigl(\lambda_{1}v(t)+v'(t)\bigr),
y''=\frac{d}{dt}\bigl[e^{\lambda_{1}t}(\lambda_{1}v+v')\bigr] =e^{\lambda_{1}t}\bigl(\lambda_{1}^{2}v+2\lambda_{1}v'+v''\bigr).

Passo 3

Substituindo em
L(y)=y''-2\lambda_{1}y'+\lambda_{1}^{2}y
obtemos
L(y) =e^{\lambda_{1}t}(\lambda_{1}^{2}v+2\lambda_{1}v'+v'') -2\lambda_{1}e^{\lambda_{1}t}(\lambda_{1}v+v') +\lambda_{1}^{2}e^{\lambda_{1}t}v =e^{\lambda_{1}t}v'',
o que prova (a).

Passo 4

Para a parte (b), a equação homogênea é
r^{2}-6r+9=0\implies(r-3)^{2}=0\implies r=3\\ (\text{dupla}),
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y_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{3t}.

Passo 5

Na equação completa
\ddot y-6\dot y+9y=t^{3/2}e^{3t},
fazemos a substituição
y(t)=e^{3t}v(t).
Pelo resultado de (a) com \lambda_{1}=3, temos
L(y)=e^{3t}v''(t)
e a EDO vira
e^{3t}v''(t)=t^{3/2}e^{3t} \quad\Longrightarrow\quad v''(t)=t^{3/2}.

Passo 6

Integramos duas vezes:
v'(t)=\int t^{3/2}\,dt=\frac{2}{5}t^{5/2}+A,
v(t)=\int\Bigl(\frac{2}{5}t^{5/2}+A\Bigr)\,dt =\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{7}t^{7/2}+At+B =\frac{4}{35}t^{7/2}+At+B.

Passo 7

Voltando a y=e^{3t}v(t), obtemos
y(t)=e^{3t}\Bigl(\tfrac{4}{35}t^{7/2}+At+B\Bigr) =\underbrace{\tfrac{4}{35}t^{7/2}e^{3t}}_{y_{p}} +C_{1}e^{3t}+C_{2}t\,e^{3t},
onde C_{1}=B e C_{2}=A.

Resposta

(a)
L\bigl(e^{\lambda_{1}t}v(t)\bigr)=e^{\lambda_{1}t}v''(t).
(b) A solução geral da EDO
\ddot y-6\dot y+9y=t^{3/2}e^{3t}
é
y(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{3t}+\frac{4}{35}\,t^{7/2}e^{3t}.

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