Seja L(y)=\ddot{y}-2 \lambda_{1} \dot{y}+\lambda_{1}^{2} y.
(a) Mostre que L\left(e^{\lambda_{1} t} v(t)\right)=e^{\lambda_{1} t} \ddot{v}(t).
(b) Determine a solução geral da equação \ddot{y}-6 \dot{y}+9 y=t^{\frac{3}{2}} e^{3 t}
Passo 1
O enunciado define o operador
L(y)=\ddot y-2\lambda_{1}\dot y+\lambda_{1}^{2}y
e pede:
(a) mostrar que para qualquer função v(t) vale
A ideia é, em (a), calcular diretamente as derivadas de y=e^{\lambda_{1}t}v(t) e em (b) usar a substituição y=e^{3t}v(t) para reduzir a equação a uma que se integra facilmente.