Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.
ly^prime=4 e^x y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
y' = 4 e^x
com condição inicial y(0)=1. Para resolver, vamos usar integração direta (antiderivada) e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x. Como y'=dydx, temos
y(x)=integral 4 e^x,dx = 4 e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x)=4e^x+C, obtemos
1 = y(0) = 4 e^0 + C = 4 + C
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C = -3

Resposta

A solução particular que satisfaz y' = 4 e^x e y(0)=1 é
y(x) = 4 e^x - 3

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