Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.
ly^prime=x-yx+1 y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial
y' = x - yx + 1
com a condição inicial y(1)=2.
Isso é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão
y' + P(x),y = Q(x)
Aqui temos
y' + 1x+1,y = xx+1,
logo P(x)=tfrac1x+1 e Q(x)=tfracxx+1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 1x+1,dxr) = expl(ln|x+1|r) = x+1

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x+1, obtendo
(x+1),y' + y = x
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x+1)y, ou seja,
ddxl[(x+1)yr] = x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
(x+1),y = integral x,dx = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y(x) = tfracx^22 + C,x+1,

Passo 7

Usamos a condição inicial y(1)=2:
2 = y(1) = tfrac1^22 + C1+1 = tfrac12 + C2 Longrightarrow tfrac12 + C = 4 Longrightarrow C = 72

Passo 8

Substituindo C=tfrac72 em y(x), temos
y(x) = tfracx^22 + tfrac72x+1 = x^2 + 72,(x+1)

Resposta

A solução particular que satisfaz y(1)=2 é
y(x) = x^2 + 72,(x+1)

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