Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular da equação diferencial
com a condição inicial
.
Isso é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.
Isso é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.
Passo 2
Reescrevemos a equação no formato padrão
Aqui temos
logo
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, ou seja,
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
:
Passo 8
Substituindo
em
, temos
Resposta
A solução particular que satisfaz
é