Verifique se as funções abaixo são deriváveis no pontos p. Em caso afirmativo calcule f^prime(p).
f(x)=lllx^2+2 & se & x<1 2 x+1 & se & x >= 1, em p=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo onde a gente precisa verificar se uma função é derivável num ponto específico, que nesse caso é p = 1 . A matéria que estamos trabalhando é Derivadas, e vamos precisar entender sobre continuidade e derivabilidade de funções por partes. Basicamente, vamos ver se a função está “suave” nesse ponto e, se estiver, calcular a derivada lá.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função dada:
f(x) = x^2 + 2 & se x < 1 2x + 1 & se x >= 1
Para saber se f(x) é derivável em p = 1 , precisamos garantir que ela seja contínua nesse ponto e que as derivadas à esquerda e à direita sejam iguais.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade. A função é contínua em p = 1 se:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^+ f(x) = f(1)
Calculando os limites:
Para x < 1 :
limx to 1^- f(x) = (1)^2 + 2 = 3
Para x >= 1 :
f(1) = 2(1) + 1 = 3
Como os dois limites são iguais e iguais a f(1) , a função é contínua em p = 1 .

Passo 4

Agora, vamos verificar as derivadas laterais. A derivada existe em p = 1 se as derivadas à esquerda e à direita forem iguais.
Derivada à esquerda ( x < 1 ):
f'(x) = ddx(x^2 + 2) = 2x
Então,
limx to 1^- f'(x) = 2(1) = 2
Derivada à direita ( x >= 1 ):
f'(x) = ddx(2x + 1) = 2
Então,
limx to 1^+ f'(x) = 2

Resposta

Como as derivadas à esquerda e à direita em p = 1 são iguais ( 2 ), a função f(x) é derivável em p = 1 e a derivada nesse ponto é:
f^prime(1) = 2

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