Resolva a equação diferencial abaixo, sabendo que
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
E também sabemos que
. O assunto aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar fatores integrantes. Então, bora lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: