Resolva a equação diferencial abaixo, sabendo que y(0)=1:
y^prime-2 y=4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
y^prime - 2 y = 4 x
E também sabemos que y(0) = 1 . O assunto aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar fatores integrantes. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, temos:
y^prime - 2 y = 4 x
Então, identificamos:
P(x) = -2 e Q(x) = 4x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante, mu(x) , é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = -2 :
mu(x) = e^integral -2 , dx = e^-2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^-2x y^prime - 2 e^-2x y = 4x e^-2x
A esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(x) y :
ddx ( e^-2x y ) = 4x e^-2x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^-2x y ) , dx = integral 4x e^-2x , dx
A integral do lado esquerdo simplifica para:
e^-2x y = integral 4x e^-2x , dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral 4x e^-2x , dx usando integração por partes, onde escolhemos:
u = 4x Rightarrow du = 4 , dx
dv = e^-2x , dx Rightarrow v = -12 e^-2x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
integral 4x e^-2x , dx = 4x ( -12 e^-2x ) - integral ( -12 e^-2x ) 4 , dx
= -2x e^-2x + 2 integral e^-2x , dx
= -2x e^-2x - e^-2x + C

Passo 7

Voltando à equação anterior:
e^-2x y = -2x e^-2x - e^-2x + C
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e^2x para isolar y :
y = -2x - 1 + C e^2x

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C :
1 = -2(0) - 1 + C e^2 cdot 0
1 = -1 + C
C = 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -2x - 1 + 2 e^2x

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