( 1,0 ponto) Encontre as assíntotas horizontal e vertical do gráfico da função f(x)=\frac{3+4 x}{2-2 x}.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontal e vertical da função
f(x)=\frac{3+4x}{2-2x}.
O conteúdo envolvido são limites de funções racionais: para a assíntota vertical, identificamos onde o denominador zera sem anular o numerador; para a assíntota horizontal, analisamos o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Para encontrar a assíntota vertical, resolvemos
2-2x=0\;\Longrightarrow\;x=1.
Verificamos que o numerador em x=1 vale 3+4\cdot1=7\neq0, logo há divisão por zero e, portanto, uma assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, calculamos o limite de f(x) quando x\to\pm\infty. Como numerador e denominador são polinômios de mesmo grau, a assíntota é dada pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3+4x}{2-2x} =\frac{4}{-2}=-2.
Portanto, a assíntota horizontal é
y=-2.

Resposta

Assíntota vertical: x=1.
Assíntota horizontal: y=-2.

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